Ncert Solutions For Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers

आप अगर class 10th में है तो  NCERT book  पढ़ते ही होगे तो उसमे बहोत से Question  ऐसे भी होंगे जो आपको समझ में नही आ रहा होगा ।

इस प्रॉब्लम का solution है मेरे पास , इसके लिए लेकर आए है learnbseb.in website जिस पर अभी class 10th math का real number solution provide  कराया गया है

आप सभी के समस्या को ध्यान में रखते हुए   real number chapter  को questions with solutions के साथ बनाया गया है

जिसमे हर chapter जैसे exercise 1.1 class 10, maths exercise 1.2 class 10 maths exercise 1.3class 10 maths exercise 1.4class 10 maths  की तरह सजाया गया जिससे question का answer ढूंढने में परेशानी न हो हो साथ   ही साथ euclid’s division lemma और euclid’s division algorithm  जो बच्चों को जल्दी समझ नही आता उसे भी आसान  भाषा में समझाया गया है 

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वास्तविक  संख्या – परिमेय  संख्या और  अपरिमेय  संख्या के सम्मिलित संख्या परिवार को वास्तविक संख्या कहते हैं जिसका हर एक संख्या  को संख्या रेखा पर निरूपित किया जा सके

परिमेय संख्या- ऐसी संख्या जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके परिमेय संख्या कहते है    जहाँ q शून्य नहीं होगा

जैसे-2/4     2/7   3/4

अपरिमेय संख्या -ऐसी संख्या जिसे p/q के रूप में नही लिखा जा सके अपरिमेय संख्या कहते है   जैसे – 0.91991999199991……   √6 ,√7 ,√3,  √11 01.01001000100001…..

प्रमेय 1.1( यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका): दो धनात्मक  पूर्णांक संख्या a और b , a को b से भाग देने पर अद्वितीय पूर्ण संख्या q और r प्राप्त होता है जो इस प्रकार है  a = bq +r  जहां   0 ≤ r < b   है

                                                          प्रश्नावली 1.1

प्र – 1.यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए महत्तम  समापवर्तक  (H.C.F.) ज्ञात करें 

 i)135 और 225 ii)196 और 38220. iii) 867 और 255

(i) 135 और 225

हल :  

225 > 135 ( बड़ी संख्या को a=225 तथा छोटी संख्या को b=135)

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से

a = bq +r

225 = 135 × 1 + 90 ( r≠ 0) ( यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग तब तक करते रहेंगे जब तक r =0 ना हो जाए)

135 = 90 × 1 + 45 ( r≠ 0)

90 = 45 × 2 + 0

b =45

HCF=45

 (ii) 196 और 38220

हल :

38220 > 196 ( बड़ी संख्या को a=38220 तथा छोटी संख्या को b=196)

a = bq +r

38220 = 196 × 195 + 0   (यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग तब तक करते रहेंगे जब तक r =0 ना हो जाए)

HCF=196

iii) 867 और 255

हल :

867 > 255 ( बड़ी संख्या को a=867 तथा छोटी संख्या को b=225)

a = bq +r

867 = 255 × 3 + 102 ( यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग तब तक करते रहेंगे जब तक r =0 ना हो जाए)

255 = 102 × 2 + 51  ( r≠ 0)

102 = 51 × 2 + 0      ( r = 0) 

HCF=51

प्र 2. दिखाए की  भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या  6q + 3 या  6q + 5 के रूप का होता है, जहां  q कोई पूर्णांक है।

हल 

मान लिया कि a एक विषम धन पूर्णांक है जो 6 से बडा है

b = 6

तब, यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से

a= bq + r

a= 6q + r    ∵ b = 6

जहाँ, r = 0, 1, 2, 3, 4, 5

a = 6q + 0 ,  a = 6q + 1 ,   a = 6q + 2 ,   a= 6q + 3 ,।   a= 6q + 4 ,    a= 6q + 5

अतः a = 2(3q + 0), a = 2(3q) + 1, a = 2(3q + 1)

a= 2(3q +1) +1, a= 2(3q + 2) ,a= 2(3q + 2)+1

अत: a = 6q + 0, 6q + 2 और 6q + 4 इस रूप की संख्या 2 से विभाज्य हैं।

तथा, a = 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 इस रूप की संख्या 2 से विभाज्य नही हैं।

अत: धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप में होगा।

प्र 3. किसी  परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले  एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों  समूहों को समान संख्या वाले में मार्च  करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है ,जिसमें  मार्च सकते हैं?

हल 

स्तंभों  की अधिकतम संख्या = HCF(616 32)

616 और 32 यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से HCF निकाले 

616 = 32 × 19 + 8 ∵ शेषफल  8 r ≠ 0

32 = 8 × 4+ 0 ∵ शेषफल  r = 0

शेषफल  0 है और भाजक 8 है

H.C.F = 8

अतः सेना 8 स्तंभों में मार्च कर  सकती है।

प्र. 4  यूक्लिड विभाजन  प्रमेयिका  का प्रयोग करके दर्शाइए  कि किसी  धनात्मक पूर्णांक  का वर्ग , किसी पूर्णांक  m के लिए 3m या  3 m+1  के रूप का होता है 

हल 

 a² = 3m or 3m+1 

a = bq + r

माना कि a कोई धनात्मक  पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि  0 ≤ r < 3

तब a = 3q + r  कुछ पूर्णांक  के  लिए q ≥ 0 इसिलए, a = 3q + 0 or 3q + 1 or 3q + 2 अब हम पाते है 

 a² = (3q + 0)² or (3q + 1)² or (3q +2)²

a² = 9q²  , or      9q²  + 6q + 1 , or  9q² + 12q + 4

 a² = 9q²or 9q² + 6q + 1 or 9q² + 12q + 3 + 1

 a² = 3(3q²), or 3(3q² + 2q) + 1 ,or 3(3q² + 4q + 1) + 1

यदि  m = (3q²) or (3q² + 2q)  or (3q² + 4q + 1) हो तो हम पाते है कि  ;

a² = 3m or 3m + 1 or 3m + 1

प्र. 5 .यूक्लिड विभाजन  प्रमेयिका  का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक  पूर्णांक  का घन 9m , 9m+1 य  9m+8 के रूप  का होता है 

हल :

 माना ,  a कोई  धनात्मक  पूर्णांक है :

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के  प्रयोग से; 

a = bq + r जहाँ; 0 ≤ r < b

b = 9 रखने पर

a = 9q + r जहा 0 ≤ r < 9

   जब r = 0 हो;

 a = 9q + 0 = 9q

a³   = (9q)³ = 9(81q³) या 9m जहाँ m = 81q³

जब r = 1 हो;

 a = 9q + 1

 a³ = (9q + 1)³ = 9(81q³ + 27q² + 3q) + 1

= 9m + 1  जहाँ m = 81q³ + 27q² + 3q

 जब r = 2 हो तो

 a = 9q + 2

 a³  = (9q + 2)³ = 9(81q³ + 54q² + 12q) + 8

 = 9m + 2  जहाँ m = 81q³ + 54q² + 12q

अत: किसी  धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के  रूप  का होता है |

                                            प्रश्नावली 1. 2 

प्र 1 . निम्नलिखित संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड के रूप में व्यक्त कीजिये 

  ( i )  140 

हल

140  का अभाज्य  गुणनखंड 

= 2² × 5 × 7 

(ii ) 156 

हल :

    156 का अभाज्य  गुणनखंड 

= 2² × 3 × 13

( iii )  3825 

हल :

3825  का अभाज्य  गुणनखंड 

= 3² × 5² × 17

( iv ) 5005 

5005 का अभाज्य  गुणनखंड = 5 × 7 × 11 × 13

( v )   7429 

7429 का अभाज्य  गुणनखंड 

 =17 x 19 x 23 

प्र 2 . पूर्णांक के निम्नलिखित युग्मों  के LCM और  HCF ज्ञात कीजिए  तथा  इसकी  जाँच  कीजिए  कि  दो संख्याओं  का गुणनफल  = LCM x HCF है 

( i ) 26 and 91 

हल : 

26 = 2 x 13   

91 = 7 x  13 

दोनों गुणनखंड में उभयनिष्ठ गुणनखंड  = 13 है 

∴ HCF = 13

LCM = 2 × 7 × 13 = 182

 अब, जांच

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

 N₁ × N₂ = LCM × HCF 

26 × 91 = 13 × 182

2366 =  2366

 अतः सिद्ध हुआ कि दो संख्याओं  का गुणनफल  = LCM x HCF है 

( ii ) 510 and 92 

हल : 

510 = 2 × 3 × 5 × 17

92 = 2 × 2 × 23

दोनों गुणनखंड में उभयनिष्ठ गुणनखंड  = 2

∴ HCF = 2

LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 =  23460

 अब, जांच,

दो संख्याओं का गुणनखंड = LCM × HCF

N₁ × N₂ = LCM × HCF 

510 × 92 = 2 × 23460

46920 =  46920

 इति सिद्धम् ! 

(iii ) 336 and 54 

  हल:

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7

 54 = 2 × 3 × 3 × 3

सार्व  गुणनखंड = 2 × 3

∴ HCF = 6

LCM = 2 × 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 3 × 7 =  3024

 जाँच,

दो संख्याओं  का गुणनफल = LCM × HCF

 N₁ × N₂ = LCM × HCF 336 × 54 = 6 × 3024

18144 =  18144

अतः सिद्ध हुआ कि दो संख्याओं  का गुणनफल  = LCM x HCF है 

प्र 3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित  के LCM और  HCF ज्ञात कीजिए

(i) 12 , 15 and 21 

 हल : 

12 = 2 × 2 × 3

 15 = 5 × 3

21 = 7 × 3

सभी  गुणनखंड में उभयनिष्ट गुणनखंड  = 3 है

 HCF = 3

LCM = 3 × 2 × 2 × 5 × 7 = 420

 (ii ) 17 , 23 and 29 

 हल:

        17 = 1 × 17

       23 = 1 × 23

      29 = 1 × 29

यहाँ 1 को छोड़कर अन्य कोई उभयनिष्ट गुणनखंड नहीं है 

     HCF = 1

    LCM = 17 × 23 × 29 = 11339

 (iii ) 8 , 9 and  25 

 हल:

 8 = 2 × 2 × 2

 9 = 3 × 3

 25 = 5 × 5

यहाँ 1 को छोड़कर अन्य कोई उभयनिष्ट गुणनखंड नहीं है 

∴ HCF = 1

LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

 = 8 × 9 × 25

= 1800

प्र 4. HCF (306, 657) = 9, दिया  है | LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए

हल : 

HCF (306, 657) = 9

 LCM × HCF = N₁ × N₂

LCM = 22338 

प्र 5 . जाँच  कीजिए कि क्या प्राकृत  संख्या n के  लिए  संख्या 6ⁿ अंक  0 पर  समाप्त  हो सकती है 

हल :

6n      का अभाज्य  गुणनखंड = (2 × 3 )n

जबकि , कोई प्राकृत संख्या  जो शून्य पर समाप्त होती है  उसके अभाज्य  गुणनखंड (2 × 5 )n के रूप का होता है 

अतः 6n शून्य पर समाप्त नहीं होती है

प्र 6 . व्याख्या  कीजिए  7 × 11 × 13 + 13 और  7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या  क्यों है ?

हल :

माना  A = 7 × 11 × 13 + 13

= 13 (7 × 11 + 1)

 = 13 (77 + 1)

= 13 × 78

अतः  यह एक भाज्य संख्या है  क्योकि इसके अभाज्य  गुणनखंड में 1  को छोड़कर  अन्य  दो गुणनखंड है 

इसी  प्रकार  , 

माना  B = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

= 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)

= 5 × (1008 + 1)

   = 5  ×  1009

अतः  यह भी एक भाज्य संख्या है क्योकि इसके भी अभाज्य  गुणनखंड में  1 को छोड़कर अन्य  दो गुणनखंड है 

प्र 7 . किसी खेल के खेल मैदान के चारो और  एक वृताकार पथ है इस मैदान का एक चक्कर लगाने  में सोनिया को 18  मिनट  लगते  है , जबकि  इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12  मिनट लगते है  मान लीजिए  वे दोनों  एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा  में चलते  है  कितने समय  बाद  वे पुनः  प्रारंभिक  स्थान  पर मिलेंगे

हल :

एक चक्कर में सोनिया  18 मिनट  लेती है 

रवि एक चक्कर  में 12 मिनट  लगता  है 

वे दोनों  एक ही स्थान  पर LCM  ( 18 , 12  ) मिनट  के बाद मिलेंगे अतः   

18 = 2 x 3 x 3         

 12 = 2 x 2  x 3।          HCF = 2 x 3=6

^LCM=36

अतः प्रारम्भ के बाद उसी स्थान पर 36 मिनट में मिलेंगे

                         प्रश्नावली 1.3 

प्र 1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या  है

हल :

यदि संभव हो तो   मान लीजिए  कि √5 एक परिमेय संख्या है  

हम किसी  भी परिमेय संख्या को p/q  के रूप  में व्यक्त  कर  सकते है जहाँ  p  तथा  q  दो पूर्णांक  है  और q ≠0  है 

इसलिए ,

यहाँ 5  a²  विभाजित  करता  है अतः 5  a  को भी विभाजित  करेगा    ……  (1 )

[ प्रमेय 1. 3  द्वारा  ]

अतः  a =5c माना 

( क्योंकि  a  5  द्वारा  विभाजित  होता  है  अर्थात a  का 5  का गुणनखंड है ) 

5b² = a²   a = 5c  रखने पर 

⇒ 5b2 = (5c)2

⇒ 5b2 = 25c2

⇒ b2 = 5c2

यहाँ  5  b² को विभाजित करता  है  अतः 5  b को भी  विभाजित करेगा  ….  ( 2 )

( प्रमेय 1. 3  द्वारा)  

 समीकरण  ( 1 ) तथा  ( 2 ) से हम पाते  है  कि  5 a तथा  b दोनों  को विभाजित करता है 

जिसमे 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है 

इससे  हमारी इस  तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता  है  कि  a  तथा  b में 1  के अतिरिक्त  कोई उभयनिष्ठ नहीं है /

यह विरोधाभासी परिमाण  हमारी गलत  कल्पना  से प्राप्त  हुआ  है  कि 

अतः √5  एक अपरिमेय  संख्या  है 

प्र 2 . सिद्ध कीजिए  कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय  संख्या है /

हल :

यदि संभव हो तो  मान लीजिए  कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है  

 हम किसी  भी परिमेय संख्या को p/q  के रूप  में व्यक्त  कर  सकते है जहाँ  p  तथा  q  दो पूर्णांक  है  और q ≠0  है 

इसलिए ,

और  p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित  कर  एक सह-अभाज्य  संख्या a  तथा  b  प्राप्त  कर सकते  है /

चूँकि a  तथा b  पूर्णांक  है  और 2  तथा  3 भी  पूर्णांक है /

इससे  एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है  की  √5 परिमेय संख्या  है 

ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना  से  प्राप्त हुआ  है कि 3 + 2√5 एक परिमेय  संख्या  है /

अतः 3 + 2√5 एक अपरिमेय  संख्या  है /

यहाँ   2 b² को विभाजित करता  है  अतः  2 , b को विभाजित  करेगा  /  …….. (1)

[परिमेय 1.3 द्वारा ]

अतः  b = 2c माना  [ क्योकि  a 5 द्वारा विभाजित होता  है  ]

यहाँ    2 b² को विभाजित करता  है  अतः  2 a को विभाजित  करेगा / ……. (2)

 [परिमेय 1.3 द्वारा ]

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि  2 a तथा b दोनों को  विभाजित  करता  है जिसमे  2 उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं  है  क्योकि  हमने a तथा  b को सह – अभाज्य  प्राप्त किया  था 

यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत  कल्पना से प्राप्त  हुआ है  कि 

                         प्रश्नावली 1.4 

प्र 1. बिना लम्बी विभाजन  प्रक्रिया किए  बताइए कि  निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव  प्रसांत सांत  है  या  असांत  आवर्ती  है :

हल :

हर  का अभाज्य गुणनखंड 5⁵ है और इसे 2^m × 5ⁿ के रूप व्यक्त किया जा सकता  है  अतः  यह एक सांत दशमलव प्रसार है 

 हर  का अभाज्य गुणनखंड 2³है और इसे 2^m × 5ⁿ के रूप व्यक्त किया जा सकता  है  अतः  यह एक सांत दशमलव प्रसार है 

 हर  का अभाज्य गुणन 5 x 7 x 13   है और इसे 2^m × 5ⁿ के रूप व्यक्त नहीं किया जा सकता  है  अतः  यह एक असांत दशमलव प्रसार है 

हर का अभाज्य गुणनखंड’ 2⁶ × 5² है और यह 2^m × 5ⁿ के  रूप में व्यक्त  है अतः यह एक सांत दशमलव प्रसार है 

प्र : ऊपर  दिए गए प्रश्न में उन  परिमेय संख्याओं के दशमलव  प्रसार को लिखिए जो सांत  है  

हल : प्रश्न  संख्या 1 में सांत  दशमलव प्रसार वाले प्रश्न निम्नलिखित  है 

 ( i ) , ( ii ) , ( iii ) , ( iv ) ( vi ) ( viii ) और ( ix )