Math formulas for class 10 – कक्षा 10 के छात्रों के लिए गणित (Math) एक बहुत ही महत्वपूर्ण विषय है, जिसमें सफलता पाने के लिए सूत्रों (Formulas) की अच्छी समझ जरूरी होती है। जब परीक्षा का समय नज़दीक आता है, तो अगर सभी Math formulas for class 10 एक ही जगह पर मिल जाएं, तो रिवीजन आसान हो जाता है।
इस लेख में हम आपको कक्षा 10 के गणित के सभी महत्वपूर्ण सूत्र अध्यायवार (chapter-wise) प्रदान कर रहे हैं, जो न सिर्फ बोर्ड परीक्षा में मदद करेंगे, बल्कि आपकी गणितीय समझ को भी मज़बूत बनाएंगे। चाहे आप CBSE, Bihar Board या अन्य किसी बोर्ड से हों – यह सभी सूत्र आपके लिए बेहद उपयोगी साबित होंगे।
Math Formulas for Class 10: Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)
कक्षा 10 गणित अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) में मुख्य रूप से संख्याओं के गुण, भाग, गुणनखंड और प्रमेयों पर आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं। नीचे इस अध्याय के महत्वपूर्ण सूत्र और अवधारणाएँ दी गई हैं:
📘 महत्वपूर्ण सूत्र और प्रमेय:
- Euclid’s Division Lemma (यूक्लिड विभाजन प्रमेय):
यदि दो धनात्मक पूर्णांकaऔरb(जहाँa > b) दिए गए हैं, तो दो पूर्णांकqऔरrअवश्य होते हैं, जिससे:a = bq + rजहाँ0 ≤ r < b - Euclid’s Division Algorithm:
यह एल्गोरिदम दो संख्याओं का HCF निकालने के लिए यूज़ होता है। इसे बार-बार Euclid’s Lemma को लागू करके प्राप्त किया जाता है। - Fundamental Theorem of Arithmetic (गणित की मूलभूत प्रमेय):
हर समग्र संख्या को केवल एक ही प्रकार से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण:140 = 2 × 2 × 5 × 7 - LCM और HCF के बीच संबंध:
HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल
📌 सुझाव: इन सूत्रों को याद करके आप बोर्ड परीक्षा में अधिक अंक प्राप्त कर सकते हैं।
Math Formulas for Class 10: Polynomials (बहुपद)
कक्षा 10 गणित अध्याय 2: Polynomials (बहुपद) एक महत्वपूर्ण टॉपिक है, जिसमें अलग-अलग प्रकार के बहुपद, उनके डिग्री, zeros और गुणनखंड निकालने से जुड़े फॉर्मूले शामिल होते हैं। नीचे इस अध्याय के सभी मुख्य सूत्र दिए गए हैं:
📘 मुख्य सूत्र और अवधारणाएँ:
- बहुपद की डिग्री (Degree of Polynomial): बहुपद में सबसे बड़ी घात वाला पद उसकी डिग्री कहलाता है।
उदाहरण:5x³ + 2x² - 3x + 7की डिग्री 3 है। - Zeros of a Polynomial: यदि
p(x)कोई बहुपद है, औरp(a) = 0, तोaउस बहुपद का zero (मूल) कहलाता है। - Linear Polynomial:
ax + b, जहाँ a ≠ 0। इसमें केवल एक zero होता है। - Quadratic Polynomial:
ax² + bx + c(a ≠ 0)। इसके दो zeros होते हैं।
यदिαऔरβzeros हों, तो:
👉α + β = -b/a
👉α × β = c/a - Cubic Polynomial:
ax³ + bx² + cx + dके तीन zeros हो सकते हैं। - Polynomial Identity:
कुछ सामान्य identities जो board exams में बहुत काम आती हैं:(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab(x + y)² = x² + 2xy + y²(x - y)² = x² - 2xy + y²x² - y² = (x + y)(x - y)
📌 Tip: Board exams में प्रश्न अकसर identity या zeros based आते हैं, इसलिए इन formulas को अच्छी तरह याद रखें और प्रैक्टिस करते रहें।
Math Formulas for Class 10: Pair of Linear Equations in Two Variables
कक्षा 10 गणित अध्याय 3: इस अध्याय में हम दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) को हल करने के विभिन्न तरीकों को सीखते हैं। नीचे सभी मुख्य सूत्र और विधियाँ दी गई हैं:
📘 रैखिक समीकरण का सामान्य रूप:
ax + by + c = 0
जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ होती हैं और a तथा b दोनों एक साथ शून्य नहीं होते।
✅ दो रैखिक समीकरणों का युग्म:
a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0
🧮 समाधान की विधियाँ (Methods of Solving):
- Substitution Method (प्रतिस्थापन विधि)
- Elimination Method (उल्टी विधि)
- Cross Multiplication Method (क्रॉस गुणन विधि)
- Graphical Method (आलेखीय विधि)
📏 Cross Multiplication Method का सूत्र:
यदि समीकरण हैं:
a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0
तो:
x / (b₁c₂ - b₂c₁) = y / (c₁a₂ - c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ - a₂b₁)
📌 हल के प्रकार (Types of Solutions):
- यदि
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂→ एक अद्वितीय हल (Unique Solution) - यदि
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂→ कोई हल नहीं (No Solution) - यदि
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂→ अनंत हल (Infinitely Many Solutions)
नोट: परीक्षा में अक्सर इन विधियों में से एक को चुनकर प्रश्न पूछे जाते हैं, इसलिए प्रत्येक को अच्छी तरह से समझना आवश्यक है।
Math Formulas for Class 10: Quadratic Equations (द्विघात समीकरण)
कक्षा 10 गणित अध्याय 4: Quadratic Equations (द्विघात समीकरण) एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें चर (variable) की घात अधिकतम 2 होती है। नीचे इस अध्याय से जुड़े सभी महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं:
📘 द्विघात समीकरण का सामान्य रूप:
ax² + bx + c = 0 जहाँ a ≠ 0 और a, b, c वास्तविक संख्याएँ होती हैं।
🧮 द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ:
- Factorization Method (गुणनखंड विधि)
- Completing the Square Method (वर्ग पूर्ण करने की विधि)
- Quadratic Formula (सिद्ध सूत्र विधि):
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
📌 Discriminant (D) का महत्व:
D = b² - 4ac के आधार पर हम मूलों (roots) की प्रकृति का निर्धारण करते हैं:
- अगर D > 0: दो वास्तविक और भिन्न मूल
- अगर D = 0: दो वास्तविक और समान मूल
- अगर D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं (Imaginary Roots)
✅ उत्पाद और योग सूत्र (Sum and Product of Roots):
- मूलों का योग:
α + β = -b/a - मूलों का गुणनफल:
α × β = c/a
Tip: परीक्षा में Quadratic Formula से अधिकतर प्रश्न पूछे जाते हैं, इसलिए इसे अच्छे से समझें और प्रैक्टिस करें।
Math Formulas for Class 10: Arithmetic Progression (AP)
कक्षा 10 गणित अध्याय 5: Arithmetic Progression (AP) एक ऐसी संख्या श्रंखला होती है जिसमें किसी भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है। इसे सामान्य अंतर (common difference) कहा जाता है।
📘 AP का सामान्य रूप:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., a + (n - 1)d
जहाँ,
a = प्रथम पद (First term)
d = सामान्य अंतर (Common difference)
n = कुल पदों की संख्या (Number of terms)
🧮 मुख्य सूत्र (Important Formulas):
- nवाँ पद (nᵗʰ term) का सूत्र:
Tₙ = a + (n - 1)d - प्रथम n पदों का योग (Sum of first n terms):
Sₙ = n/2 [2a + (n - 1)d]
या
Sₙ = n/2 (a + l), जहाँ l अंतिम पद है।
📌 उदाहरण:
यदि AP है: 5, 8, 11, 14, ..., तो
a = 5, d = 3
T₅ = a + (5 - 1)d = 5 + 4×3 = 17
🔗 Note: AP के प्रश्नों को हल करते समय सही फॉर्मूला और पदों की संख्या का ध्यान रखें।
Math Formulas for Class 10: Trigonometry
कक्षा 10 गणित अध्याय 8: त्रिकोणमिति (Trigonometry) एक ऐसा गणितीय विषय है जिसमें कोणों और त्रिभुजों के बीच संबंधों का अध्ययन किया जाता है। इस अध्याय में हम विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपात (ratios) और उनके सूत्रों को सीखते हैं।
📘 प्रमुख त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios):
- sin θ = perpendicular / hypotenuse
- cos θ = base / hypotenuse
- tan θ = perpendicular / base
- cot θ = base / perpendicular
- sec θ = hypotenuse / base
- cosec θ = hypotenuse / perpendicular
📏 मुख्य त्रिकोणमितीय सूत्र:
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = cosec²θ
📊 Standard Angle Values:
| θ (Degrees) | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | Not Defined |
इन सूत्रों का उपयोग करके आप किसी भी कोण या त्रिभुज के मापदंडों को आसानी से निकाल सकते हैं।
Math Formulas for Class 10: Triangles (Geometry)
कक्षा 10 गणित अध्याय 6: इस अध्याय में हम त्रिभुजों की समानता (Similarity of Triangles) और उससे जुड़ी प्रमुख प्रमेयों और सूत्रों का अध्ययन करते हैं। नीचे सभी जरूरी सूत्र दिए गए हैं:
📘 Triangles के महत्वपूर्ण सूत्र (Important Triangle Formulas):
- समान त्रिभुजों की परिभाषा: दो त्रिभुज समान होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाओं का अनुपात समान हो।
- Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem):
यदि किसी त्रिभुज की एक रेखा, दो भुजाओं को इस प्रकार विभाजित करती है कि वह तीसरी भुजा के समानांतर हो, तो वह रेखा उन दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
DE ∥ BC ⟹ AD/DB = AE/EC - Similar Triangles की Property:
If ΔABC ~ ΔPQR, then:
AB/PQ = BC/QR = AC/PR - Area of Similar Triangles:
(Area₁ / Area₂) = (Side₁ / Side₂)² - Pythagoras Theorem:
अगर कोई त्रिभुज समकोण त्रिभुज है, तो:
AC² = AB² + BC²(जब ∠B = 90°) - Converse of Pythagoras Theorem:
अगर किसी त्रिभुज में AC² = AB² + BC², तो वह समकोण त्रिभुज होता है।
📌 नोट:
सभी प्रमेयों और सूत्रों को चित्र और उदाहरण के साथ समझना सबसे अच्छा होता है। परीक्षा में प्रमेयों का सही प्रयोग और सही steps बहुत महत्वपूर्ण होते हैं।
Math Formulas for Class 10: Circles (वृत्त)
कक्षा 10 गणित अध्याय 10: Circles (वृत्त) अध्याय में हम स्पर्श रेखाएँ, त्रिज्या, जीवाएँ और उनके बीच के संबंधों को सीखते हैं। नीचे इस अध्याय के महत्वपूर्ण सूत्र और नियम दिए गए हैं:
📘 वृत्त से संबंधित प्रमुख परिभाषाएँ:
- वृत्त: केंद्र से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय।
- त्रिज्या (Radius): केंद्र से वृत्त के किसी बिंदु तक की दूरी।
- जीवा (Chord): वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा।
- स्पर्श रेखा (Tangent): वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूने वाली रेखा।
🧮 प्रमुख सूत्र (Important Circle Formulas):
- स्पर्श रेखा और त्रिज्या का संबंध:
वृत्त की स्पर्श रेखा उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
Radius ⟂ Tangent - एक बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ:
PA = PB(जहाँ A और B स्पर्श बिंदु हैं और P बाहरी बिंदु है।) - स्पर्श रेखाओं की लंबाई निकालने का सूत्र:
Length = √(OP² - r²)
जहाँ O = केंद्र, P = बाहरी बिंदु, r = त्रिज्या
📌 ध्यान दें:
एक वृत्त से एक बिंदु पर केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
Math Formulas for Class 10: Surface Areas and Volumes
कक्षा 10 गणित अध्याय 13: इस अध्याय में ठोस आकृतियों (3D Shapes) जैसे घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला आदि के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume) के सूत्रों का अध्ययन किया जाता है।
📘 मुख्य सूत्र (Important Formulas):
1️⃣ Cube (घन)
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) = 6a²
- आयतन (Volume) = a³
2️⃣ Cuboid (घनाभ)
- पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
- आयतन = l × b × h
3️⃣ Cylinder (बेलन)
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πrh
- पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πr(h + r)
- आयतन = πr²h
4️⃣ Cone (शंकु)
- CSA = πrl
- TSA = πr(l + r)
- Volume = (1/3)πr²h
5️⃣ Sphere (गोला)
- Surface Area = 4πr²
- Volume = (4/3)πr³
6️⃣ Hemisphere (अर्धगोला)
- CSA = 2πr²
- TSA = 3πr²
- Volume = (2/3)πr³
📌 ध्यान दें: π (पाई) = 22/7 या 3.14 के रूप में लिया जा सकता है।
Math Formulas for Class 10: Statistics
कक्षा 10 गणित अध्याय 14: इस अध्याय में हम आंकड़ों (Data) का विश्लेषण करते हैं और माध्य (Mean), माध्यिका (Median), और बहुलक (Mode) जैसे केंद्रीय प्रवृत्ति के माप सीखते हैं।
📘 महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas):
1️⃣ Mean (संख्यात्मक माध्य)
- संभाव्यता वितरण के लिए:
Mean (x̄) = Σ(f × x) / Σf
जहां x = वर्गों का मध्य बिंदु (midpoint), f = आवृत्ति (frequency)
2️⃣ Median (माध्यिका)
-
Median = l + [(n/2 – cf) / f] × h
जहाँ:- l = माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा
- n = कुल आवृत्तियों का योग (Σf)
- cf = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति
- f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
- h = वर्ग की चौड़ाई
3️⃣ Mode (बहुलक)
-
Mode = l + [(f₁ – f₀) / (2f₁ – f₀ – f₂)] × h
जहाँ:- l = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा
- f₁ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
- f₀ = बहुलक वर्ग से पहले की आवृत्ति
- f₂ = बहुलक वर्ग के बाद की आवृत्ति
- h = वर्ग की चौड़ाई
इन सूत्रों की मदद से आप किसी भी सांख्यिकीय प्रश्न को आसानी से हल कर सकते हैं। कक्षा 10 बोर्ड परीक्षा में यह अध्याय बहुत scoring होता है।
Math Formulas for Class 10: Probability
कक्षा 10 गणित अध्याय 15: Probability (प्रायिकता) एक ऐसी शाखा है जिसमें हम किसी घटना के घटने की संभावना का अध्ययन करते हैं। इस अध्याय में केवल सांख्यिकीय प्रायिकता (Empirical Probability) का अध्ययन किया जाता है।
📘 प्रमुख सूत्र (Important Formula):
- Probability of an event (E):
P(E) = (Number of favourable outcomes) / (Total number of outcomes) - 0 ≤ P(E) ≤ 1
- Sure Event: यदि किसी घटना के घटने की संभावना 1 हो तो वह एक निश्चित घटना होती है।
P(Sure Event) = 1 - Impossible Event: यदि किसी घटना के घटने की संभावना 0 हो तो वह असंभव घटना होती है।
P(Impossible Event) = 0 - Total probability of all outcomes = 1
🎲 उदाहरण:
यदि एक सिक्का उछाला जाए, तो Head आने की प्रायिकता:
P(Head) = 1/2यदि एक पासा फेंका जाए, और 3 आने की प्रायिकता:
P(3) = 1/6इस अध्याय में किसी घटना के घटने की संभावना को सरलता से गणना करना सिखाया जाता है।